Derivada Exterior

Links útils

Integrating a two-form over a region in \mathbb{R}^2

Step 2: we define the integral of a two-form on $U \subset \mathbb{R}^2$ along a closed bounded domain in $U$ with a choice of orientation. The definition is in terms of standard double integrals from calculus. We show that the resulting integral is invariant under orientation-preserving reparametrizations, and changes sign under orientation-reversing reparametrizations. This is closely connected to the transformation formula for double integrals.

$Integrating a two-form over a region in \mathbb{R}^2$

https://sites.ualberta.ca/~vbouchar/MATH215/section_2d_surface_integrals.html

Per context:

➰
k-chain

k-form (forma diferencial)

Exemple

s’anomena una 1-forma, i el camí C s’anomena una 1-cadena.

és una 2-forma, que podem anomenar “diferencial de ” o també ”derivada exterior de ”. és una 2-cadena.

És a dir

Quan nosaltres integrem una funció escalar de tres variables, solem escriure-ho tal que així

I pensem en com un volum en i en com un diferencial de volum . I ja està bé, per la majoria de casos (cartesianes, espai euclidià).

Ara bé, una notació més formalment correcta, que permet fer càlcul diferencial sobre espais amb forats o espais corbats, és la següent.

Al producte ‘’ se’l anomena “wedge product” o producte exterior.

Quin és l’avantatge d’aquest formalisme?

Bé, en hi ha molts. Però de moment comentarem el més simple. El producte exterior entre dos 1-formes és anti-commutatiu, això vol dir:

Una manera fàcil de veure-ho és amb el Teorema de Green (en forma rotacional).

[Vídeo sencer]

Nota sobre el tema del rotacional i el teorema de Green

Context: .

El Teorema de Green vindria a ser:

Doncs si un intenta reescriure… (no sé què anava a dir la veritat)

Si no fos per la propietat anti-commutativa del producte exterior (generalització del producte vectorial, que també és anti-commutatiu), no podríem deduir d’on surt el signe negatiu en l’expressió.

Canvi a coordenades polars més formal

[Vídeo sencer]

Teorema de Stokes Generalitzat

És molt importat tenir en compte que aquí fa referència a la derivada exterior de . On és una forma diferencial. I si és una (k)-cadena aleshores és una (k+1)-cadena.