Recursos externs
Articles
‣
Vídeo útil
Afirmacions
Si dos operadors commuten
- Tenen una base de vectors propis comuna
- Es poden diagonalitzar simultàniament
Si un operador és degenerat, i un operador és hermític (diagonalitzable), en el subespai de la degeneració
- En aquell subespai els dos operadors commuten, és a dir tenen una sub-base de vectors propis comuna, és a dir es poden diagonalitzar simultàniament.
Commutador
Visualització de valors propis
En 2D
Tal com està explicat aquí, al aplicar una transformació lineal, alguns eixos conserven els seus vectors
Mentre que per la resta d’eixos, els vectors es sortirien de l’eix
Aviam?
Els eixos invariants, són els que contenen els vectors propis, i el valor pel que s’allarga o comprimeix un eix, és el valor propi d’aquells vectors propis.
Ara bé, també pot ser que tinguem degeneració, és a dir que els dos eixos tinguin el mateix valor propi (per exemple ). En aquest cas només hi ha una matriu diagonal que faci això, i és la que és dues vegades la identitat, és a dir una matriu que escala tots els vectors per .
Veiem-ho
Si els dos vectors propis tenen valor propi , és que el polinomi característic era
I aquesta matriu és dos vegades la identitat, és a dir que escala TOTS els vectors per .
Així doncs, tenim que realment tots els vectors són vectors propis. Dit d’altra manera no tenim dos eixos propis sinó un pla propi. Aquest pla és el que anomenem el subespai de la degeneració.
Conclusió: si tenim degeneració (2 en aquest cas), hi ha un subespai corresponent (pla en aquest cas) en el qual tots els vectors són vectors propis.
En 3D
Ara en 3 dimensions podrem visualitzar millor el cas de degeneració.
Podem seguir tenint no-degeneració, en el qual tindrem 3 eixos que s’escalen per factors diferents.
Ara bé, si dos dels eixos tenen el mateix valor propi, implicarà que el pla que formen és el subespai vectorial corresponent a aquells dos vectors propis. Dit d’altra manera, tot aquell pla contindrà vectors propis de la transformació lineal.
I a part, tindrem un 3r eix que no serà contigu al pla, i s’escalarà per un factor diferent. (En cas de que s’escalés pel mateix factor, implicaria que tot l’espai 3D són vectors propis).
Un fet important, és que si la matriu és simètrica (o hermítica) els vectors propis formaran una base ortogonal (teorema espectral). Així doncs si la matriu és simètrica, el vector blau del dibuix, serà perpendicular al pla.
Això és interessant, ja que si tenim un vector qualsevol de l’espai , podem expressar-lo com una combinació lineal d’un vector pertanyent al pla i un ortogonal a aquest, i ja que les matrius són transformacions lineals, podrem aplicar la matriu a cada component (paral·lela al pla i ortogonal al pla) per separat, resultant per tant en dues equacions de valors propis.
Trencar la degeneració
El concepte de “trencar la degeneració” al principi pot costar una mica d’entendre. Aquí algunes pistes:
- A una matriu degenerada sola no se li pot “trencar la degeneració”
- Parlem de “trencar la degeneració” quan considerem també una segona matriu (o observable).
- Si aquesta segona matriu és diagonalitzable (per exemple hermítica) anomenarem “trencar la degeneració” al fet de trobar una base “bona”, una que diagonalitzi simultàniament les dues matrius.
A nivell visual això és molt fàcil d’entendre. Quan tenim una sola matriu (suposem hermítica), tenim que un vector propi és el perpendicular al pla, i els altres dos vectors propis, podem triar els que vulguem del pla (hi ha infinites eleccions vàlides).
Ara bé, quan considerem un segon observable en el subespai, de tot el pla, només hi ha dos vectors que siguin propis . Aquests vectors també ho seran d’ perquè pertanyen al pla.
És a dir hi ha una única base que sigui pròpia de i de al mateix temps (en el subespai).
Trobar aquesta base, s’anomena “trencar la degeneració”. Encara que el nom no li escau gaire, ja que no trenques res, i la degeneració segueix allà (mateix valor propi).
Exemple
Calculem la matriu de spin d’un sistema de dos electrons i trobem que és
Veiem que té dos valors propis amb el mateix valor (el ), així doncs l’espectre és degenerat i no sabem quina base escollir.
El que fem, és introduir un nou observable , que ens diu quina és la base més adient a triar. La matriu corresponent a és
Si diagonalitzem aquesta matriu en el subespai de la degeneració trobarem
Si ara estenem aquests vectors propis trobats tindrem que la base bona de és
I la matriu corresponent a en aquesta base és
Fixem-nos que hem “aixecat la degeneració del primer observable, però que els dos segueixen sent degenerat.
Més coses
A partir d’aquí pàgina en revisió, explicació no completada.
Quina pista ens dona ?, doncs que sí la diagonalitzem (només cal que diagonalitzem el seu bloc perquè la resta ja és diagonal), els vectors propis obtinguts seran també vectors propis de (recordem que comparteixen una base comuna).
Anem a fer-ho, anem a diagonalitzar el bloc.
Així doncs, en aquesta base comuna, la matriu pren la forma
(Com ja sabíem). I la matriu serà
Pfff (????)
Coneixem i , sabem que commuten i volem trencar la degeneració de
Exercici mental
Suposem que dos observables commuten , anem a estudiar les relacions entre les seves bases.
Ja que són observables (operadors hermítics), les seves bases seran
Anem a veure si podem deduir quina forma té només sabent i que els operadors commuten.
sobre
Si apliquem sobre tindrem
Així doncs veiem que
És a dir que és un autovector de .
sobre
Estudiem ara sobre
Veiem doncs que
És a dir, que és un autovector de .
Cas no-degenerat
“En el cas no-degenerat si dos vectors propis tenen el mateix valor propi, és que pertanyen al mateix eix, és a dir són contigus (paral·lels i un sobre l’altre)”.
Fixem-nos que de moment tenim
Visualment seria que tan com pertanyen al mateix eix i seria el valor pel qual aquest eix es comprimeix o s’allarga.
Així doncs, quan actua sobre , per força l’ha de mantenir en el mateix eix. Matemàticament seria
És a dir que , tot i que amb valors propis diferents .
Dit d’altra manera, pel cas no-degenerat i tenen els mateixos vectors propis.
Cas degenerat
Resulta que també comparteixen una base de vectors propis. És a dir pels dos casos, si commuten podem trobar una base comuna de vectors propis.
Però aquesta base comuna serà un subespai vectorial (el pla que hem vist abans)