Crear uns apunts a l’estil llibre de text a LaTeX

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage{lmodern}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{ifxetex,ifluatex}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[catalan]{babel}
\usepackage[a4paper,bindingoffset=0.2in,%
left=0.6in,right=0.6in,top=0.625in,bottom=0.625in,%
footskip=.25in]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\setlength{\parindent}{0em}
\setlength{\parskip}{0em}
\usepackage{multicol}

\pagestyle{empty}


\begin{document}
\begin{multicols}{2}
\subsubsection*{Elasticitat}
\textbf{Tensor d'esforços}

\[\frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L} \qquad \sigma_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial S_j} \qquad dF_i = \sigma_{ik}dS_k\] 

$$\sigma_{ij}>0 \rightarrow \text{Tracció} \qquad \sigma_{ij}<0 \rightarrow \text{Compressió}$$
 
\textbf{Forces i moments}

\[\Vec{F}_T = \int_{v}(\Vec{\nabla}\Vec{\Vec{\sigma}} + \Vec{f}) \ dV\]
\quad \small{En eq. mecànic: $\Vec{\nabla}\Vec{\Vec{\sigma}} + \Vec{f} = 0$}

\[\Vec{M} = \int_{V} (\Vec{r} \times d\Vec{F}_t) \ dV = \int_{S} \Vec{r} \times (\Vec{\nabla}\Vec{\Vec{\sigma}} + \Vec{f})\cdot \hat{n}dS \] 

\subsubsection*{Tensor de deformacions de Cauchy}

\[u_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) \qquad dx' = dx + du\]

Deformació $\Leftrightarrow$ $\Delta r \neq 0$ ; $u_i \equiv \text{vector desplaçament}$ 

\[\frac{\Delta V}{V} = tr(\Vec{\Vec{u}}) = \Vec{\nabla}\Vec{u}\]

\[u_{ij} = \frac{1}{3}(u_{kk})\delta_{ij} + \frac{1}{2}(u_{ij} + u_{ji})-\frac{1}{3}(u_{kk})\delta_{ij} + \frac{1}{2}(u_{ij} - u_{ji})\]

\textbf{Llei de Hooke per materials isòtrops}\\
Amb $\mu$ i $\lambda$:
\[\sigma_{ij} = 2\mu u_{ij} + \lambda (u_{kk})\delta_{ij}\]

\[\sigma_{ij} = 2\mu (u_{ij} - \frac{1}{3}(u_{kk})\delta_{ij}) + \kappa (u_{kk})\delta_{ij}\]

$\kappa = \frac{2}{3}\mu + \lambda = \frac{Y}{3(1-2\sigma)}\equiv \text{Mòdul de compressibilitat}$\\

Amb $Y$ i $\sigma$:

\[\sigma_{ij} = \frac{Y}{1 + \sigma}[u_{ij} + \frac{\sigma}{1-2\sigma}(u_{kk})\delta_{ij}]\]

\textbf{Llei de Hooke inversa}\\

Amb $\mu$ i $\lambda$:

\[u_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu}-\frac{\lambda}{2\mu}(u_{kk})\delta_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{2\mu} - \frac{\lambda}{6\kappa \mu}(\sigma_{kk})\delta_{ij} \]

Amb $Y$ i $\sigma$:

\[u_{ij} = \frac{1}{Y}[(1+\sigma)\sigma_{ij} - \sigma(\sigma_{kk})\delta_{ij}]\]



\textbf{Relació de constants elàstiques}

\[Y = \mu \frac{3\lambda + 2\mu}{\lambda + \mu} \qquad \sigma = \frac{\lambda}{2(\mu + \lambda)} \]


\[
\lambda = \frac{Y\sigma}{(1-2\sigma)(1+\sigma)} \qquad
\mu =\frac{Y}{2(1+\sigma)}
\]

\textbf{Equació de Navier-Cauchy}

 \[\Vec{f} + (\lambda + \mu)\Vec{\nabla}(\Vec{\nabla}\cdot\Vec{u}) + \mu\Vec{\nabla}^2\Vec{u} = \rho \frac{\partial^2\Vec{u}}{\partial t^2}\]

Aplicant $\Vec{\nabla} \times  (\Vec{\nabla} \times \Vec{u}) = \Vec{\nabla}\cdot (\Vec{\nabla}\cdot \Vec{u}) - \Vec{\nabla}^2\Vec{u}$:

\[(\lambda + 2\mu)\Vec{\nabla}\cdot(\Vec{\nabla}\cdot\Vec{u})-\mu \Vec{\nabla} \times  (\Vec{\nabla} \times \Vec{u}) = \rho\frac{\partial^2\Vec{u}}{\partial t^2} - \Vec{f}\]

\[\frac{Y(1-\sigma)}{(1+\sigma)(1-2\sigma)}\Vec{\nabla}\cdot(\Vec{\nabla}\cdot \Vec{u}) - \frac{Y}{2(1-\sigma)}\Vec{\nabla}\times(\Vec{\nabla}\times\Vec{u}) = \rho \frac{\partial^2\Vec{u}}{\partial t^2} - \Vec{f}\]

\textbf{Torsió pura}

$$\tau = \frac{\phi}{z} \ \text{;} \ \Vec{u} = \tau z(-y,x,0) $$
$$\ M_z = \int (x\sigma_{yz} - y\sigma_{xz}) dA = \mu \tau \int (x^2 + y^y)dA$$
\[\mu J = \mu \int (x^2 + y^2)dS \equiv \text{rigidesa torsional}\]

\textbf{Flexió pura}

\[\theta = \frac{L}{R} = \frac{L'}{R-y}\]
\[u_{zz} = \frac{-y}{R} \rightarrow \sigma_{zz} = -Y\frac{y}{R}\]

\[ \sigma_{xx} = \sigma_{yy} = 0 \qquad u_{ij} = 0 \ (i \neq j) \]

\[u_{xx} = u_{yy} = -\sigma u_{zz} = \sigma \frac{y}{R}\]

\[F_z = 0 \qquad M_x = \frac{Y}{R}\int y^2 dA \rightarrow M_x = \frac{Y}{R} I \]
\[I = \int_{-x/2}^{x/2}dx\int_{-y/2}^{y/2}y^2dy\]

Llei d'Euler-Bernouilli

\[|M_b| = YIK \qquad K = \frac{y''}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}} = \qquad M_x = -|M_b|\hat{x}\]

\quad On $ \frac{1}{R} = K \equiv\text{Curvatura}$; si $y'<<1 \rightarrow \frac{1}{R}\simeq y'' $\\

\textbf{Equilibri de barres}

Força externa per unitat de longitud
\[\Vec{K} = (K_y, K_z) \]
\quad No confondre aquesta $\Vec{K}$ amb la K de la curvatura!!\\

Balanç de forces
\[\frac{dF_z(z)}{dz} = -K_z(z) \qquad \frac{dF_y(z)}{dz}=-K_y(z)\]

Balanç de moments

\[\frac{dM_x}{dz} = F_y(z) - F_z(z)\frac{dy}{dz}\]

Equacions de la barra sense forces longitudinals ($F_z = 0$)

\[YI\frac{\partial^4y}{\partial z^4} = K_y \Rightarrow y(z) = a + bz +cz^2 + dz^3 + \frac{K_y}{24IY}z^4\]

\quad On hem aplicat Euler-Bernouilli amb $\frac{1}{R} \simeq y''$\\

Condicions de contorn

\quad No es deflecteix $\rightarrow y(z = z_i) = 0$

\quad No es mou del lloc $\rightarrow y'(z = z_i) = 0$

\quad No rota $\rightarrow y''(z = z_i) = 0$

\quad No hi ha forces netes $\rightarrow y'''(z = z_i) = 0$

\quad Força puntual en z=L $\rightarrow y''' = -\frac{F_y}{YI}$\\


\textbf{Inestabilitat de Buckling}\\

\[F\cdot y = -YI\frac{d^2 y}{dz^2} \] 
Solució general:
\[y(z) = Asin(kz) + Bcos(kz) \qquad k^2 = \frac{F}{YI}\]

Condicions de contorn: $y(0) = y(L) = 0$

\[B = 0 \qquad F=\frac{YIn^2\pi^2}{L^2} \qquad n=1,2 ...\]

Força d'Euler: $n=1 \Rightarrow F_E=\frac{YI\pi^2}{L^2}$

\quad Si $F<F_E \rightarrow y(z) = 0$

\quad Si $F=F_E \rightarrow y(z) = Asin(\frac{\pi}{L}z)$

\quad Si $F>F_E$ fora del marc de la teoria lineal\\

\textbf{Ones en un medi elàstic}

\[\Vec{\nabla} \times \Vec{u}_L = 0 \qquad \Vec{\nabla}\cdot\Vec{u}_T = 0\]

\[c_L^2\Vec{\nabla}^2\Vec{u}_L = \frac{\partial^2 \Vec{u_L}}{\partial t^2}  \qquad c_L^2 = \frac{\lambda + 2\mu}{\rho}\]

\[c_T^2 \Vec{\nabla}^2\Vec{u}_T = \frac{\partial^2\Vec{u}_T}{\partial t^2} \qquad c_T^2 = \frac{\mu}{\rho}\]

\[\Delta p_L = -k \Vec{\nabla} \cdot \Vec{u}_L \neq 0 \qquad \Delta p_T = -k \Vec{\nabla} \cdot \Vec{u}_T = 0 \]

Ones harmòniques

\[\Vec{u}(\Vec{r},t) = \Vec{a} e^{-i(\Vec{k}\cdot \Vec{r} - \omega t)}\]

\quad \small Ona plana longitudinal 

\[\Vec{a} = a\hat{k} \Rightarrow \omega^2 \rho = (\lambda + 2\mu)\Vec{k}^2 \qquad \Vec{k} = \frac{\omega}{c_T}\hat{k}\]

\quad \small Ona plana transversal

\[\Vec{a} \perp \Vec{k} \mid \Vec{a} = a\hat{t} \Rightarrow \omega^2 \rho = \mu \Vec{k}^2 \qquad \Vec{k} = \frac{\omega}{c_T}\hat{k}\]

Intensitat promig d'una oscil·lació

\[\langle I_L \rangle = \frac{1}{2} \rho \omega^2 a^2 c_L \hat{k} \qquad \langle I_T \rangle = \frac{1}{2} \rho \omega^2 a^2 c_T \hat{k} \]

\subsubsection*{Fonaments d'estàtica i dinàmica de fluids}
\textbf{Línies de corrent}
\[\frac{dx}{v_x}=\frac{dy}{v_y} = \frac{dz}{v_z} \qquad \frac{dr}{v_r}=\frac{rd\theta}{v_\theta}=\frac{dz}{v_z}\]

\[ \frac{dr}{v_r} = \frac{rd\theta}{v_\theta} = \frac{r \sin{\theta}d\phi}{v_\phi}\]

\textbf{Principi d'Arquímedes}

\[\Vec{F}_T = \int_V (\rho_0 - \rho)\Vec{g} \ dV = 0 \qquad -\int_S p \ d\Vec{S} = -\int_V \rho\Vec{g} \ dV\]

\textbf{Trajectòries} 
\[\frac{d\Vec{r}}{dt}=\Vec{v}(\Vec{r}_0,t)\] 
\\
Descripció d'Euler:  $\frac{d\Vec{v}}{dt} = \frac{\partial \Vec{v}}{\partial t} + (\Vec{v}\cdot\Vec{\nabla})\Vec{v} = \frac{D\Vec{v}}{Dt}$\\

Ritme de canvi de volum: $\frac{1}{V}\frac{dV}
{dt}=\Vec{\nabla}\cdot\Vec{v}$\\

\textbf{Vorticitat}
\[\Vec{\omega} = \Vec{\nabla}\times\Vec{v}\qquad \Vec{\Omega} = \frac{1}{2}\Vec{\omega}\]

\textbf{Funció corrent ($\Vec{\nabla}\Vec{v} = 0 $): $\Psi(x,y)$)} 



\[v_x = \frac{\partial \Psi}{\partial y} \qquad v_y = -\frac{\partial \Psi}{\partial x} \qquad v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \Psi}{\partial \theta} \qquad v_\theta=-\frac{\partial \Psi}{\partial r}\]
\[v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \Psi}{\partial z} \qquad v_z = -\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi}{\partial r} \] \[v_r = \frac{1}{r^2 sin(\theta)}\frac{\partial \Psi}{\partial \theta} \qquad v_\theta = -\frac{1}{rsin(\theta)}\frac{\partial \Psi}{\partial r}\]

\textbf{Potencial velocitat ($\Vec{\nabla}\times\Vec{v} = 0$):}  $\phi(x,y,z)$

\[\Vec{v} = \Vec{\nabla}\phi\]

\textbf{Flux d'una magnitud B}

\[\frac{dB}{dt} = \frac{dB}{dV}\frac{dV}{dB}= \frac{dB}{dV}\Vec{v}\cdot d\Vec{S} \qquad Q = \int \Vec{v} \cdot d\Vec{S}\]


\textbf{Equació del balanç de massa}
\[\frac{\partial M}{\partial t} = -\oint_S \rho (\Vec{v}\cdot\hat{n})dS \]

\textbf{Equació de continuïtat}

\[v_1A_1 = v_2A_2\]
\textbf{Conservació del moment lineal global}\\

\[\oint_S (\rho \Vec{v}\Vec{v}\ \mathbb{I}- \Vec{\Vec{\sigma}})\cdot \hat{n}dS = \int_V \Vec{f}dV\]
\[\Vec{\Vec{\pi}} \equiv \rho \Vec{v}\Vec{v}\ \mathbb{I}- \Vec{\Vec{\sigma}} \qquad \Vec{\Vec{\sigma}} = - p \ \mathbb{I} + \Vec{\Vec{\tau}} \]


\[\tau_{ij} = \eta (\partial_jv_i+ \partial_i v_j) \qquad \Vec{\Vec{\tau}}= \eta(\nabla\Vec{v} + (\nabla\Vec{v})^T) = \eta \dot{\gamma}\]



$$\eta = 0 \rightarrow \text{fluid ideal} \ \eta = ctt \rightarrow \text{fluid newtonià}$$
$$ \eta = \eta(\dot{\gamma}) \rightarrow \text{fluid no-newtonià}$$


\textbf{Equació de Navier-Stokes}
\[\rho \left(\frac{\partial \Vec{v}}{\partial t} + (\Vec{v}\cdot\Vec{\nabla})\Vec{v}\right) = \Vec{\nabla}\cdot\Vec{\Vec{\sigma}}+\Vec{f}\]

Si és incompressible:
\[\rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + (\Vec{v}\cdot \Vec{\nabla})\Vec{v}\right)=\Vec{f} - \Vec{\nabla}p + \eta\Vec{\nabla}^2\Vec{v}\]

Interfase plana entre dos parets

\[\eta_1 \frac{\partial v_x^1}{\partial y} = \eta_2 \frac{\partial v_x^2}{\partial y}\]

\textbf{Nombre de Reynolds}\\

Adimensionalització

\[\Vec{r}' = \frac{\Vec{r}}{L} \qquad \Vec{v}' = \frac{\Vec{v}}{u} \qquad t' = \frac{t}{L/u} \qquad \Vec{\nabla}' = L\Vec{\nabla}\]
\[\frac{\partial \Vec{v}'}{\partial t'} + (\Vec{v}'\cdot\Vec{\nabla}')\Vec{v}' = -\Vec{\nabla}'p' + \frac{1}{R_E}\Vec{\nabla}'^2\Vec{v}' \]

\[p' \equiv \frac{p}{\rho u^2} \qquad R_E = \frac{u \rho L}{\eta}\]

$R_E << 1 \rightarrow \text{flux laminar}$\\

$ R_E >> 1 \rightarrow \text{fluid ideal} \ \ (\text{si} \ \ R_E>2300 \rightarrow \text{flux turbulent})$\\

\textbf{Moviments a $R_E>>1$}
\[\eta = 0 \Rightarrow \Vec{\Vec{\sigma}} = -p\mathbb{I}\]
Equació d'Euler
\[\rho \frac{d\Vec{v}}{dt} = -|\Vec{\nabla}p| + \Vec{f}\]

Equació de Bernouilli (flux estacionari)
\[\frac{1}{2}\rho v^2 + p + \psi = ctt\]
Al llarg d'una línia de corrent. Si és irrotacional, es compleix per tot el fluid\\

\textbf{Fun facts notació d'Einstein}\\
Recordem que els índex que es repeteixen en un terme indiquen sumatori. Així,
\[u_{kk} = \delta_{ij}u_{ij}\]
\end{multicols}
\end{document}