Introducció (base conceptual de la teoria)
Manera conceptual de pensar: Un sòlid es pot tractar com un conjunt de cubitos
Assumpció: hipòtesis del continu
—> ens podem definir uns camps escalar, vectorials i tensorials que variaran de valor a cada punt (cubito) és a dir que son locals.
—> els cubitos, experimenten una força volúmica al seu centre, i 6 forces superficials (una a cada cara)
—> aquestes forces serien com a la termodinamica la temperatura o la pressió (en realitat venen de les forces intermoleculars entre les molecules, i realment totes les forces de l’univers són volúmiques no pas superficials) però és una descripció macroscòpica, no pas microscòpica.
—> en principi per caracteritzar les 6 forces superficials necessitariem 6·3 =18 components
—> Separem ara conceptualment el conjunt de cubitos interns del sòlid (que no tenen cap de les seves cares donant a l’exteriorr) i la capa fina de cubitos (1 cubito de gruix) formada pels cubitos que sí tenen mínim una cara donant a l’exterior. Anomenarem i a aquests conjunts respectivament.
—> Vale ara imaginem que agafem un dels cubitos interiors i li traiem el material que té el voltant (el resto de cubitos), aquest es deformarà. Just en l’instant inicial abans de començar a deformar-se aquest sent unes forces, a cada una de les seves cares (la volúmica no el fa deformarse).
FINS AQUÍ TOT BÉ
—> Aquestes forces el fan deformarse cap enfora (no són compressives), si fossin cap endins, hauríem de dividir el solid en cubets més petits per exemple en 27 cubets (cub de rubik) i analitzar que si per exemple un dels cubets de dalt experimenta una força cap avall, per aquest és una força cap enfora (???? JO QUÈ SÉ NO SÉ RES ???)
—> bno al final tens l’argument informal (BASTANT TRUTSKY) que qualsevol dels cubitos interiors, si aquest es troba en equilibri (és un sòlid que no es mou) vol dir que la força que experimenta la seva cara superior, s’ha de cancelar (3a llei de newton) amb la de la cara inferior (del de dalt) que per proximitat es com la seva en modul, aixi que la superior i la inferior del propi cubet son la mateixa força canviada de direccio.
—> La demostració formal que això és així i que per tant només calen 9 components i per tant que existeix un tensor d’esforços és la del tetraedre de cauchy —> que també tenia inconsistències —> demostració de Backus
—> La demostració de la simetria del tensor d’esforços es fa mitjançant la consevació del moment lineal o angular del cubet, però es pot pensar com que si fas una força cap aqui llavors… JOKESE JA NO RECORDO RE
Bno la simetria del tensor de deformacions si q es per geometria de quan es deforma, però el desforços nidea loko.
Hipòtesis del continu
Un sòlid o un fluid es pot considerar com un conjunt de cubs petits (diferencials de volum), en què a cada cubet la densitat i la temperatura és constant.
Encara que en el món real, a partir de cert valor molt petit hi ha discontinuïtats en la matèria, matemàticament podem aplicar tots els conceptes de càlcul (diferencials, divergències, integrals…) perquè estem parlant d’ordres de magnitud tan inferiors que la “aproximació” de com a infinitesimal és satisfactòriament bona.
La hipòtesis del continu és vàlida per:
- Variacions molt petites (però no infenitessimals)
- dV petit però N >> 1 (Número de molècules) i L >> L_mol
- Interaccions inter moleculars de curt alcance
Doncs amb aquesta descripció continua de la matèria, ens podem definir els següents camps:
- Camps escalars: densitat i temperatura
- Camps vectorials: camp de desplaçaments i camp de velocitats
- Camps tensorials: tensor d’esforços i tensor de deformacions
Tetraedre de Cauchy
Noms diversos
- Stress Tensor = Cauchy Stress Tensor = Tensor d’esforços
- Strain Tensor = Cauchy Strain Tensor = Tensor de Deformacions = Tensor d’Elasticitat
- Green Strain Tensor —> small strains —> linealized
Tensor d’esforços (Stress Tensor)
Tipus de forces
SUPERFICIALS
NORMALS (esforços externs)
- Exemple: Pressió hidroestàtica*Àrea
TANGENCIALS (esforços interns)
- Força de fregament (viscositat)
VOLÚMIQUES
- Gravetat
- Força de lorentz (elèctrica i magnètica)
Idea clau
Vale cada cubito, experimenta una força en cada una de les seves cares.
Per proximitat amb els cubitos veïns i per 3a llei de newton, la força a la cara superior i la força a la cara inferior són iguals en mòdul i direcció però en sentit oposat. Aleshores al descriure 3 forçes (vectors en 3 dimensioins) amb 3 cares en fem prou (no en calen 6). Si cada força la descomponem en les seves components, ens queden 9 components per descriure totes les forces aplicades a la superfície de un dV qualsevol. En canvi per una força volúmica (com la gravetat), només en calen 3, i seria un vector amb origen al centre del cubet.
[INSERTAR FOTO TENSOR DE RANG 2 I DIMENSIÓ 3]
Dilatació i compressió d’una barra
Allargament
Per tant
Que reordenant queda
Aleshores veiem que al descriure una força superficial, és més important l’esforç () que la força en si mateixa, i en el cas de deformacions, és més important la deformació relativa que la deformació absoluta.
Molt bé, ara anem a anomenar aquesta constant de proporcionalitat Mòdul de Young (E).
Representació del tensor d’esforços
[IMATGE TENSOR]
El tensor d’esforços (representat per una matriu 3x3) aniria variant els valors numèrics de les seves components al moure’ns a través del material. És a dir, que és i per tant cal tenir en compte que , ja que realment és per cada diferencial de volum: .
Aleshores:
I el mateix amb cada component de , que escrit matricialment és:
Explicació intuïtiva: bla bla simètric degut a quan es deforma en un sentit tmb en l’altre. Tot i que matemàticament no és una condició necessària.
Forces superificials i de volum (les intermoleculars s’acaben cancelant ns pk)
Bla bla força de superfície total = fregament = arrastre. —> vector des del centre de masses del sistema.
Pel teorema de la divergència arribem a la condició d’equilibri de forces és:
On és la força volúmica partit per unitat de volum.
La condició d’equilibri per moments de forces és:
Veiem que la condició d’eq de forces ens dona també la condició d’equilibri de moments. Anomenarem per tant a la condició simplement “Condició d’equilibri”.
Tensor de Deformacions (Strain Tensor)
- Vector desplaçaments
- Tensor de deformacions
Nota: en alguns llocs fan servir però nosaltres farem servir
Vector Desplaçament (Displacement Field)
On és l’angle de rotació (?)
____
és l’angle entre els vectors a i b
Per tant
Simplificant arribes a
Que si són ortogonals set simplifica a
Que no sé què polles vol dir la veritat.
Recordem
Que quan fem la aproximació lineal
Negligim el terme
Arribant a
I arribaries a que
Expressió tensor de deformacions
Bla bla em fa mandra la demo. Arribes a:
El tensor és simètric —> —> Diagonalitzable —> Eixos principals de deformació
S’anomena
- Tensor de deformacions finites
- Lagrangià —> (?) lol
- Tensor de Green- St Venont
Petites deformacions —> (aproximació) lineal —> cauchy
Tensor
Voigt Notation
‣
Tonteries
El que tenim realment és
Ns però segons com, la idea seria que
Considerant simetria (6x6)
I considerant simetria interna (deriva d’un potencial i per tant hi ha una altra simetria)
Si ortòtrop
9 coeficients
Si a més anisòtrop cúbic
3 coeficients independents
Si a més isotròpic
2 coeficients independents