Recordem els resultats importants de l'estadística quàntica
Funció de partició macrocanònica
En què eren fermions, era per bosons i equivalia a Maxwell-Boltzmann.
Potencial macrocanònic
Valor mitjà del número d’ocupació
Número de partícules
Valor mitjà de l’energia
“Passem la suma discreta a una integral (tenim moltíssims estats així que és una molt bona aproximació)”.
En el continu
Primer recordem el paràmetre fugacitat
I ara ho passem al continu
Recordem que és el nombre d’estats que tenen una energia entre i .
Conceptes que han de quedar molt clars —> densitat d’estats gas ideal
La densitat d’estats juntament amb contar estat ha de quedar molt clara.
Anem a treballar amb un gas ideal quàntic fent estadística quàntica.
Hamiltonià quàntic
amb .
Aplicat a l’equació de Schrödinger
La solució general són ones planes de la forma
En què és la solució de l’equació independent del temps.
Equació de Schrödinger estacionaria
Osigui que
Que (no sé com) et dona
Veiem que i per tant —>
Un gas ideal és equivalent a una partícula en una caixa (0,L) en 3D.
Solució general
Degut al problema (caixa), s’anul·la en 0 i L per cada coordenada.
Aleshores obtenim
Siguent . Osigua que
I ara posem l’expressió del vector k a l’expressió de l’energia
Finalment hem obtingut l’expressió que volíem
En l’espai de nombres d’ocupació podem definir la superfície d’una esfera en què l’energia és constant. I seria una malla ja que és discret (nx, ny i nz només poden prendre com a valors 1, 2, 3, 4, 5…).
Volem saber el volum que ocupa un estat, no ho podem fer ja que són punts —> ens calculem el volum d’un Sdr esfèric i ho dividim pel nombre d’estats que hi ha. (CREC).
Tot això és cas general (nombre de dimensions = d)
Si enlloc d’un espai R3 fet per nx, ny i nz ho fem en l’espai de les k (kx,ky,kz) obtenim que aquest (diferencial de) volum d’una escorça esfèrica és
Per 3 dimensions (d=3)
Recordem que ni tampoc sinó és com un diferencial de volum però triplement diferencial.
En l’espai de px, py i pz
que és anàleg al cas clàssic en què obteníem .
*En esfèriques*
Gas degenerat de fermions en 3D
“T’has saltat 3 classes”.
Funció de Fermi-Dirac
Número de partícules
Energia mitjana
Gas de fermions completament degenerats
Gas de fermions fortament degenerat
Resum pissarra
Gas de fermions (aplicació de l’estadística de Fermi-Dirac)
I sabem que
A) Cas completament degenerat
Això implica que
I obtenim
B) Cas fortament degenerat
“Els efectes quàntics són el més important”
Això és
I per tant
Que dona lloc a
C) Cas no degenerat o dèbilment degenerat
“Aquí els efectes quàntics són negligibles”.
Això és
I per tant
Bla bla (no m’ha donat temps de copiar) gas clàssic
Per invertir-lo(?)
Igualant potències —> obtenim
per j = 1 —>
per j = 2 —>
És a dir que (en ordre 2) queda
*Equació d’estat*
“Com que no podem calcular-ho exactament fem el que s’anomena ‘Expansió del Virial’, que és expressar-ho en potències de la densitat. Estem obtenint més informació que l’equació d’estat. Això ja és per gasos no ideals”.
“En la Gran Canónica l’objectiu sempre és expressar la fugacitat en funció del nombre de partícules, després lo demès és simplement fer els càlculs”.