“Gas ideal de bosons però que al poder estar al mateix número d’ocupació, i ha una temperatura crítica per la qual es produeix el que s’anomena condensació de Bose-Einstein.”
Gas ideal de Bosons
Recordem versió generalitzada estadístiques en la col·lectivitat gran canònica (en funció de ).
Recordem que ho passàvem al continu
Que per bosons (a=-1) queda
Per un gas de bosons en 3D
Integrant per parts nsq arribes a
que et donen les FUNCIONS DE BOSE-EINSTEIN —> són les funcions.
Aquí l’únic important és la , que en aquest cas es troba entre 0 i 1 i recordar que el potencial químic en aquest cas és negatiu
, Bosons —>
“Spoiler: moltes d’aquestes partícules s’ajuntaran en l’estat fonamental”.
Vale ara un cop tens la simplement has de fer els càlculs tediosos (a partir de l’eq d’estat).
“Recordem que en el límit termodinàmic els promitjos coincideixen amb els valors”.
Número promig de partícules
Que es pot pensar com a
On és el número de partícules que estan en un estat excitat i el número de partícules que es troben en l’estat fonamental.
D’on s’obté que
Vale i recordem que . Si ho posem a “l’equació d’estat” s’obté
En el límit la contribució de a és negligible.
Vale això és important “La pressió de l’estat fonamental és negligible però el número de partícules no”.
“Pq quan N tendeix a infinit i V també però N/V=densitat es manté constant, el ln(N) creix molt més lent que V aleshores queda 0 el terme aquest”.
Energia mitjana
Aarribant a la ja coneguda equació
“L’estat fonamental té energia zero, no aporta aleshores no cal separem la seva contribució”.
I si fem un anàlisis de les funcions d’einstein tipus per quina z tenen valor màxim i tal
Súper xetat el que ve a continuació, si és exactament , obtenim la FUNCIÓ ZETA DE RIEMANN
Sabem de les matemàtiques que
Aleshores per
Aleshores el NÚMERO MÀXIM DE PARTÍCULES EN ESTAT EXCITATS
És a dir que només és prou gran per . Recordem que
Vale això és important
En el límit termodinàmic No és negligible és a dir
“Si és una mica inferior a z, ja passarà això”
Anem a estudiar el límit termodinàmic (N,V,T)
Si —> TAL —> totes les partícules en estats excitats (z<1)
Si —> l’estat fonamental es pobla de partícules
Que és el que s’anomena condensació de Bose-Einstein, que passa a partir d’un valor crític, aquell en què
Temperatura crítica
Densitat crítica
En termes de TC
[GRÀFIQUET]
Resum gas ideal bosons
Nota: ns pq no hi ha el -1/V ln(No+1)
Resum condensació de Bose-Einstein
Fase no condensada
Fase condensada
[GRAFIQUET]
Propietats termodinàmiques
Fase no condensada
Aleshores
Al mateix temps sabem que podem expandir com a:
“Qualsevol funció si pren un argument entre 0 i 1, es pot expressar com una sèrie de potències i es pot fer un truco per trobar la funció inversa equivalent (en aquell rang)”
Obtenint
Igualant potències de x —> no ho he entès, mirar teoria mates sèries i funcions inverses
I per tant
És a dir que en una segona aproximació, pren la forma
(Nota: no sé què és , és la funció de partició??). Substituint el valor de la s’obté
Aleshores l’equació d’estat queda
Aleshores, s’arriba el que es coneix com a Expansió del Virial
Quina és la pressió màxima (en la fase condensada)?
S’arriba doncs a l’expressió
Observem dues coses curioses
- La pressió no depèn linealment amb la temperatura, sinó com a la temperatura a la 2.5
- La pressió no depèn del volum ni de la densitat !!!
Just en el punt crític (T=Tc)
Energia mitjana
Que substituint s’obté
Que ens permet ara calcular la capacitat calorífica (al final el més important).
Just a T = Tc
És a dir que la capacitat calorífica d’un gas de bosons en condensació és superior a la d’un gas ideal.
[GRÀFICS GAS IDEAL]
[GRÀFIC PER L’HELI 4]
Radiació cos negre (una altra de les aplicacions de l’estadística de Bose-Einstein)
Cos negre = reflexa internament tot el que genera. Volum i temperatura constants.
“Radiació fons de microones és pràcticament un cos negre perfecte”
“Plank va idear de manera una mica loca un discretització de l’energia emesa proporcional a la freqüència i va arribar a la solució correcta”.
Hi ha el tractament modern i el tractament que va fer planck (problema 8.1)
Tractament de Planck
Conjunt d’oscil·lacions harmòniques amb diferents freqüències
Hipòtesis —> que les energies d’aquests oscil·ladors estigués discretitzada (per un tractament més senzill aka aproximació)
Funció de partició (canònica) clàssica però discreta de 1 oscil·lador de freqüència
Energia mitjana de 1 oscil·lador
Vale però això és per 1 oscil·lador, pel total necessitem saber la degeneració
Ho fem a partir de les ones electromagnètiques
Solució ones electromagnètiques planes
Relació de dispersió
Si visualitzem el cos negre com una caixa quadrada, les funcions s’han d’anul·lar a 0 i L, és a dir que han de ser ones estacionàries. —> Discretització dels vectors de ona
Densitat d’estats en funció de (en 3D)
on és el volum de 1 estat i 4pik^2dk és el diferencial de volum en l’espai de les k i (1/2)^3 és només per n>0 i el 2 al principi és perquè hi ha 2 modes de vibració transversals (les ones electromagnètiques són ones transversals, no pas longitudinals).
Aleshores
Que s’anomena relació de Rayleigh
Densitat d’energia espectral (energia per unitat de volum)
En què g(w) és el # d’oscil·ladors amb freqüència
Qu és la famosa Fórmula de Plank
La gràcies és que un pot definir
Arribes a una densitat d’energia espectral que té la mateixa forma però està adimensionalitzada i és més senzilla de graficar
[GRÀFIC TÍPIC COS NEGRE]
I aquesta funció si ens fixem en el màxim
I a partir d’aquesta obtenim la Llei de Wein (que ja es coneixia) però amb la mateixa constant (xetat).
“Catástrofe del ultravioleta —> solucionat per plank”
Si volem calcular la densitat d’energia total
Obtenim la Llei de Stefan-Boltzmann original
Definint la constant de Stefan-Boltzmann
Aleshores
Tractament modern
Estadística de Bose-Einstein continu
Gas de fotons amb massa zero i energia ultrarelativista
amb no fixe
Quin és el treball necessari per canviar el número de fotons?
Funció de partició macrocanònica
Densitat d’estats en l’espai de les fases
I sabent que queda
2 polaritzacions per 1 fotó
És a dir que
I ara podem tenir la funció de partició
Podem ara definir-nos
Que és equivalent a l’expressió de nsq de radiació. I ens queda
que integrant per parts arribes a
Que ens dona el que s’anomena “Pressió de radiació”
Obtenim també que pel gas de fotons l’energia mitjana és
“Aquesta relació ens ha sortit ja a diferents sistemes però el factor varia (aquí per fotons és 1/3 mentre que per bosons era 2/3)” Això és degut a que un un la degeneració va al quadrat i en l’altre 1/2 i al final depén del tipus de sistema.
Densitat d’energia espectral
on hw és l’energia de 1 fotó, (e^tal-1) és la ocupació i g(w) és el nombre de fotons amb freqüència w.
Al final arribem a la Fórmula de Plank (però ara des del tractament modern considerant els fotons com a bosons)
Altres propietats
Mirar-se bé això de la funció zeta de riemann com a solució d’integrals.
Energia lliure de helmholtz
Entropia
Densitat total d’energia
Capacitat calorífica a volum constant